Question

（2011•通州區一模）已知函數f(x)=

1

3

x3+x2+ax+b（a，b為常數）．
（I）若函數f（x）在x=2處取得極值，求a的值；
（II）若f（x）在區間[-2，1]上是單調遞減的，求a的取值范圍；
（III）當a＞1時，比較f(

1

2

logmt)與f(logm

t+1

2

)的大小．

Answer 1

分析：（I）求出f′（x），由x=2取得極值得到f'（2）=0，求解得到a的值即可；
（Ⅱ）利用導數可知f^′（x）≤0（x∈[-2，1]），通過分離參數，再轉化為利用導數求一個函數的最值問題即可．
（III）當a＞1時，f'（x）=x²+2x+a＞0恒成立，從而函數f(x)=

1

3

x3+x2+ax+b在R上是增函數，再利用基本不等式得出

t+1

2

≥t

1

2

，下面就m的取值分類討論，即可得出結果．

解答：解：（I）f'（x）=x²+2x+a．
因f（x）在x=2取得極值，所以f'（2）=4+4+a=0．解得a=-8．
經檢驗知當a=-9時，x=2為f（x）為極值點．
（II）∵f'（x）=x²+2x+a，
由已知得x²+2x+a≤0在[-2，1]上恒成立，
∴a≤-x²-2x在[-2，1]上恒成立．
∴a≤-1²-2×1=-3．
故a≤-3．
（III）當a＞1時，f'（x）=x²+2x+a＞0恒成立，
∴函數f(x)=

1

3

x3+x2+ax+b在R上是增函數，
由于

t+1

2

≥t

1

2

，
①當m＞1時，

1

2

logmt≤logm

t+1

2

，∴f(

1

2

logmt)≤f(logm

t+1

2

)；
②當0＜m＜1時，

1

2

logmt≥logm

t+1

2

，
∴f(

1

2

logmt)≥f(logm

t+1

2

)．

點評：考查學生利用導數研究函數極值及單調性，不等關系與不等式．熟練掌握利用函數的導數研究函數的單調性及使用分離參數法求參數的取值范圍是解題的關鍵．