Question

【題目】設函數.① 若，則的極小值為___； ② 若存在使得方程無實根，則的取值范圍是___．

Answer 1

【答案】

【解析】

①判斷函數的單調性，結合函數極值的定義進行判斷即可

②根據分段函數的表達式求出函數f（x）的取值范圍，若方程無實根，等價為f（x）與y＝m沒有交點，利用函數與方程的關系進行轉化求解即可．

①當a＝0時，當x≤0時，f（x）＝x為增函數，

當x＞0時，f（x）＝x2﹣2x﹣4，對稱軸為x＝1，

當0＜x≤1時，f（x）為減函數，當x≥1時，f（x）為增函數，

即當x＝1時，函數取得極小值，此時f（1）＝1﹣2﹣4＝﹣5，

②∵當x≤a時，f（x）≤a，

當x→+∞時，f（x）→+∞，

若存在m使得方程f（x）﹣m＝0無實根，即存在m使得方程f（x）＝m無實根，

則說明函數f（x）的值域不是R，

即當x＞a時，f（x）＞a，即可．

若a＜1，當x＞a時，f（x）的最小值為f（1）＝1﹣2﹣4＝﹣5，

此時只要a＜﹣5即可，

若a≥1，此時f（x）在（a，+∞）為增函數，則f（x）＞f（a）＝a2﹣2a﹣4，

由a2﹣2a﹣4＞a，即a2﹣3a﹣4＞0，得（a+1）（a﹣4）＞0，

則a＞4或a＜﹣1（舍），

綜上a＞4或a＜﹣5，

即實數a的取值范圍是（﹣∞，﹣5）∪（4，+∞），

故答案為：﹣5，（﹣∞，﹣5）∪（4，+∞）.