Question

已知α∈R，f（x）=（x²-2）（x-a）．
（Ⅰ）求f（x）的導函數f′（x）；
（Ⅱ）若f′（1）=0．求f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若|a|＜

5

2

，求證：當x∈（-∞，-2）和x∈（-2，+∞）時，f（x）都是單調增函數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要求f（x）的導函數f′（x）方法用求導法則直接求出即可；
（Ⅱ）由f′（1）=0確定出a的值，令導函數f′（x）=0求出穩定點，在[-1，2]區間內討論增減性確定最值即可； （Ⅲ）f′（x）與零的大小決定此函數的增減性，所以主要是判斷f′（x）是否大于或小于零得到即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-ax²-2x+2a
∴f'（x）=3x²-2ax-2
（Ⅱ）由f′(1)=0，得a=

1

2

，則f（x）=（x²-2）（x-

1

2

），f′（x）=3x²-x-2=（x-1）（3x+2）
令f′（x）=0解得x=1或x=-

2

3

當x在區間[-1，2]上變化時，y′，y的變化情況如下表：

又f(-

2

3

)=

49

27

，f(1)=-

1

2

∴f（x）在區間[-1，2]的最大值為f（2）=3，最小值為f(1)=-

1

2

．
（Ⅲ）證明：∵f′(x)=3x2-2ax-2=3(x-

1

3

a)2-

6+a2

3

，
又|a|＜

5

2

，

|a|

3

＜

5

6

＜1，∴-1＜

a

3

＜1，
∴當x∈（-∞，-2）和（2，+∞）時，f'（x）＞f'（2）或f'（x）＞f'（-2）．
∵|a|＜

5

2

，∴f′(2)=4(

5

2

-a)＞0，f′(-2)=4(

5

2

+a)＞0
∴f（x）在x∈（-∞，-2）和（2，+∞）上都是增函數．

點評：本題考查利用導數求閉區間上的最值方法，函數單調性的判斷即證明，導數的計算．