Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長(zhǎng)為2，離心率為.

(1)求橢圓C的方程；

(2)A，B為橢圓C上滿足△AOB的面積為的任意兩點(diǎn)，E為線段AB的中點(diǎn)，射線OE交橢圓C于點(diǎn)P.設(shè)＝t，求實(shí)數(shù)t的值．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1（2）t＝2或t＝

【解析】(1)設(shè)橢圓C的方程為＝1(a＞b＞0)，

由題意知解得

因此橢圓C的方程為＋y2＝1.

(2)(ⅰ)當(dāng)A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，設(shè)直線AB的方程為x＝m.

由題意得－＜m＜0或0＜m＜.

將x＝m代入橢圓方程＋y2＝1，得|y|＝ .

所以S△AOB＝|m|·＝.解得m2＝或m2＝.①

因?yàn)?/span>＝t＝t(＋)＝t(2m,0)＝(mt,0)，

又P為橢圓C上一點(diǎn)，所以＝1.②

由①②，得t2＝4或t2＝，

又t＞0，所以t＝2或t＝.

(ⅱ)當(dāng)A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸不對(duì)稱時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋h.

將其代入橢圓的方程＋y2＝1，得

(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由判別式Δ＞0可得1＋2k2＞h2，

此時(shí)x1＋x2＝－，x1x2＝，

y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2h＝，

所以|AB|＝.

因?yàn)辄c(diǎn)O到直線AB的距離d＝，

所以S△AOB＝|AB|d＝×2×××＝××|h|.

又S△AOB＝，所以××|h|＝.③

令n＝1＋2k2，代入③整理得3n2－16h2n＋16h4＝0.

解得n＝4h2或n＝h2，即1＋2k2＝4h2或1＋2k2＝h2.④

因?yàn)?/span>＝t＝t(＋)＝t(x1＋x2，y1＋y2)＝，

又P為橢圓C上一點(diǎn)，

所以t2＝1，即＝1.⑤

將④代入⑤，得t2＝4或t2＝.

又t＞0，故t＝2或t＝.

經(jīng)檢驗(yàn)，適合題意．

綜合(ⅰ)(ⅱ)，得t＝2或t＝