Question

【題目】如圖，△ABC中，，ABED是邊長為1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分別是EC，BD的中點．

（1）求證：GF∥底面ABC；

（2）求證：AC⊥平面EBC；

（3）求幾何體ADEBC的體積V.

Answer 1

【答案】(1) 見解析；(2)見解析 ;(3).

【解析】

（1）連接，根據是正方形，推出是的中點，結合是的中點，即可證明∥底面；（2）易證，根據平面平面，推出平面，從而可得，根據勾股定理可知，即可證明平面；（3）取的中點，連接，根據，推出，，根據平面平面，推出平面，即可求得幾何體的體積.

(1)證明：連接AE，如下圖所示．

∵ADEB為正方形，

∴AE∩BD＝F，且F是AE的中點，

又G是EC的中點，

∴GF∥AC，又AC平面ABC，GF平面ABC，

∴GF∥平面ABC.

(2)證明：∵ADEB為正方形，∴EB⊥AB，

又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，EB平面ABED，

∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.

又∵AC＝BC＝AB，

∴CA2＋CB2＝AB2，

∴AC⊥BC.

又∵BC∩BE＝B，∴AC⊥平面BCE.

(3)取AB的中點H，連GH，∵BC＝AC＝AB＝，

∴CH⊥AB，且CH＝，又平面ABED⊥平面ABC

∴CH⊥平面ABC，∴V＝×1×＝.