Question

（2012•浦東新區(qū)一模）函數(shù)f（x）=sinⁿx+cosⁿx（n∈N^*，n≠2，x∈R）的最小正周期為

n為奇數(shù)時，2π；n為偶數(shù)時，

π

2

．

Answer 1

分析：（1）當 n=2k-1，k∈N^*時，f（x+2π）=f（x），證明2π 是 f（x）的最小正周期；
（2）當n是大于2的偶數(shù)時，分析證明f（x）的最小正周期是

π

2

．

解答：解：∵f（x）=sinⁿx+cosⁿx（n∈N^*，n≠2，x∈R）
∴（1）當 n=2k-1，k∈N^*時，f（x+2π）=f（x），
∴2π 是 f（x） 的一個周期．
令 f（x）=0，可得tanⁿx=-1，即tanx=-1．
解得x=

3π

4

+kπ，k∈N^*，下面證明2π 是 f（x）的最小正周期：
①當 T₁∈（0，2π）且T₁≠π是其周期，
取 x₁=

3π

4

-T₁．
則 f（x₁）≠0，f（x₁+T₁）=0．
所以T₁不是f（x） 的周期．
②當T₂=π 時，
取x₂=0．
則 f（x₂）=1，f（x₂+T₂）=-1．
所以T₂不是f（x）的周期．
綜上，當 n=2k-1，k∈N^*時，
f（x）的最小正周期是 2π．
（2）當n=2k+2，k∈N^*時，f（x+

π

2

）=f（x），
∴

π

2

是f（x）的一個周期．
當T₃∈（0，

π

2

）是其周期時，
取x₃=

π

2

-T₃．
則 sinx₃，cosx₃∈（0，1）．
所以(sinx3)2k+2＜(sinx3)2，
(cosx3)2k+2＜(cosx3)2．
所以 f（x₃）＜1．
這與f（x₃+T₃）=1矛盾，
∴T₃不是f（x）的周期．
綜上，當n=2k+2，k∈N^*時，
f（x）的最小正周期是

π

2

．
綜上，當n是奇數(shù)時，f（x）的最小正周期是2π；
當n是大于2的偶數(shù)時，f（x）的最小正周期是

π

2

．
故答案為：n為奇數(shù)時，2π；n為偶數(shù)時，

π

2

．

點評：本題考查函數(shù)的周期的確定與證明，考查周期的定義的理解與應(yīng)用，考查分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想的綜合運用，考查分析問題、解決問題的能力，屬于難題．