Question

已知向量

a

=(m，n)，

b

=(1，2)，

c

=(k，t)，且

a

∥

b

，

b

⊥

c

，|

a

+

c

|=

10

，則mt的取值范圍是（　　）

A．（-∞，1]

B．（0，1]

C．[-1，1]

D．（-1，1）

Answer 1

分析：利用向量共線的充要條件和垂直的充要條件得到

2m-n=0 k+2t=0

，再結合向量的模的公式得出m²+t²=2，最后利用基本不等式求出mt的取值范圍即可．

解答：解：∵

a

∥

b

，

b

⊥

c

，
∴

2m-n=0 k+2t=0

，
∵|

a

+

c

|=

10

，
∴（m+k）²+（n+t）²=10，
從而有：（m-2t）²+（2m+t）²=10，化簡得：m²+t²=2，
由基本不等式得：mt≤

m2+t2

2

=1，當且僅當m=t時取等號，
則mt的取值范圍是（-∞，1]．
故選A．

點評：本題考查向量垂直的充要條件，考查向量共線的充要條件，考查平面向量數量積的坐標表示等，屬于基礎題．