Question

（本小題滿分12分）
已知函數f(x)=（x∈R），Ｐ1（ｘ1，ｙ1），Ｐ2（ｘ2，ｙ2）是函數ｙ＝ｆ(x)圖像上兩點，且線段Ｐ1Ｐ2中點Ｐ的橫坐標為。
（１）求證Ｐ的縱坐標為定值；   （4分）
（２）若數列｛｝的通項公式為＝ｆ()(ｍ∈Ｎ，ｎ＝１,２,３,…,ｍ），求數列｛｝的前ｍ項和；    （5分）
（３）若ｍ∈Ｎ時，不等式＜橫成立，求實數a的取值范圍。（3分）

Answer 1

（1）略
（2）（３ｍ－１）
（3）

解答：（１）由＝，知ｘ＋ｘ＝１，
則ｙ＋ｙ＝＋＝…＝          故＝。-------4分
（２）已知Ｓ＝ｆ()+ｆ()+ｆ()+…+ｆ()+ｆ()
易證ｆ()+ｆ()＝，ｆ（１）＝           ----------------6分
前ｍ－１項逆序相加２Ｓ＝［ｆ()+ｆ()］+［ｆ()+ｆ()］+［ｆ()＋ｆ()］+…+［ｆ()+ｆ()］+［ｆ()＋ｆ()］
＝（３ｍ－１）                        ------------9分
（３）＜ａ（－）＜０依題意知對任意ｍ∈Ｎ恒成立，顯然ａ≠０，
（Ⅰ）當ａ＜０時，顯然－＞０，則ａ＜０，
當ｍ取偶數時，顯然不成立，故此時不合題意                  ---------10分
（Ⅱ）當ａ＞０時，ａ＞０，則需－＜０，解得ａ＞＝１＋，ｍ∈Ｎ時，單調遞減，故１＋≤，故此時ａ＞．
綜上所述：ａ＞。                       -----------12 分