Question

已知函數f（x）=ax²+4x-2，若對任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

．
（Ⅰ）求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）（理）對于給定的非零實數a，求最小的負數M（a），使得x∈[M（a），0]時，-4≤f（x）≤4都成立；
（Ⅲ）（理）在（Ⅱ）的條件下，當a為何值時，M（a）最小，并求出M（a）的最小值．
（Ⅱ）（文）求最小的實數b，使得x∈[b，1]時，f（x）≥-2都成立；
（Ⅲ）（文）若存在實數a，使得x∈[b，1]時，-2≤f（x）≤3b都成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數f（x）=ax²+4x-2，我們求出f(

x1+x2

2

)-

f(x1)+f(x2)

2

的解析式，并根據f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

判斷其符號，即可得到實數a的取值范圍；
（Ⅱ）（理）由已知中函數f（x）=ax²+4x-2的解析式，結合（I）的結論，我們可得對稱軸x=-

2

a

＜0，我們分-2-

4

a

＜-4和-2-

4

a

≥-4，兩種情況進行分類討論，最后綜合討論結果，即可得到答案．
（III）（理）由（2）知，當0＜a＜2，M(a)=

-2

4-2a +2

． 當a≥2，M(a)=

-6

4+6a -2

≥-3．  我們根據分段函數分段處理的原則，分別求出各段上函數的最小值，即可得到，M（a）的最小值-3．
（II）（文）由已知中當x∈[b，1]時，f（x）≥-2都成立，結合f（0）=-2，易得b≥0，進而得到b的最小值；
（Ⅲ）（文）由（Ⅱ）中的結論可知b≥0，進而可以判斷出函數f（x）在區間[b，1]上為增函數，進而根據x∈[b，1]時，-2≤f（x）≤3b都成立，構造關于b的不等式，解不等式，即可得到實數b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f(

x1+x2

2

)-

f(x1)+f(x2)

2

=a(

x1+x2

2

)2+b(

x1+x2

2

)+c-

ax12+bx1+c+ax22+bx2+c

2

=-

a

4

(x1-x2)2≤0，
∵x₁≠x₂，
∴a≥0．
∴實數a的取值范圍為[0，+∞）．
（Ⅱ）（理）∵f(x)=ax2+4x-2=a(x+

2

a

)2-2-

4

a

，
顯然f（0）=-2，對稱軸x=-

2

a

＜0．
（1）當-2-

4

a

＜-4，即0＜a＜2時，M(a)∈(-

2

a

，0)，且f[M（a）]=-4．
令ax²+4x-2=-4，解得x=

-2± 4-2a

a

，
此時M（a）取較大的根，即M(a)=

-2+ 4-2a

a

=

-2

4-2a +2

，
（2）當-2-

4

a

≥-4，即a≥2時，M(a)＜-

2

a

，且f[M（a）]=4．
令ax²+4x-2=4，解得x=

-2± 4+6a

a

，
此時M（a）取較小的根，即M(a)=

-2- 4+6a

a

=

-6

4+6a +2

，
（Ⅲ）（理） 由（2）知，
當0＜a＜2，M(a)=

-2

4-2a +2

． 此時 M（a）＞-1
當a≥2，M(a)=

-6

4+6a -2

≥-3．  此時 M（a）≥-3（當且僅當a=2時，取等號）
∵-3＜-1，
∴當a=2時，M（a）取得最小值-3．
（Ⅱ）（文）∵f（0）=-2
由x∈[b，1]時，f（x）≥-2都成立
∴b≥0
∴b的最小值為0
（Ⅲ）（文）由（Ⅱ）知  b≥0
∴f（x）在[b，1]上為增函數，
∴f（1）≤3b
即：a+4-2≤3b
又 由（Ⅰ）a≥0⇒3b≥a+2≥2⇒b≥

2

3

∴

2

3

≤b＜1

點評：本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，一元二次方程的根的分布與系數的關系，分段函數的最小值，函數恒成立問題，其中（I）的關鍵是根據實數的性質，判斷出實數a的取值范圍，理科（II）的關鍵是根據函數f（x）=ax²+4x-2的對稱軸x=-

2

a

＜0，確定分類標準，（III）的關鍵是根據分段函數分段處理的原則，得到分段函數的最值，而文科（II）（III）的關鍵是根據已知條件構造關于b的不等式．