Question

在正項等比數列a_n中，a₁＜a₄=1，若集合A={n|(a1-

1

a1

)+(a2-

1

a2

)+…+(an-

1

an

)≤0，n∈N*}，則集合A中元素的個數為

 

．

Answer 1

分析：設公比為q，根據a₁＜a₄=1?a₁=q^-3，則（a1-

1

a1

）+（a2-

1

a2

）+…+（an-

1

an

）=

a1(qn-1)

q-1

-

1 a1 (1- 1  qn )

1- 1 q

然后化簡并將a₁=q^-3，并化簡，得出 q^n-7-1≤0，就可以求出結果．

解答：解：設公比為q
∵a₁＜a₄=a₁q³=1
∴0＜a₁＜1  1＜q³  q＞1     ①
∴a₁=q^-3        ②
∴（a1-

1

a1

）+（a2-

1

a2

）+…+（an-

1

an

）
=（a1+a2+…+an）-（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

）  （后一個首項

1

a1

，公比

1

q

）
=

a1(qn-1)

q-1

-

1 a1 (1- 1 qn )

1- 1 q

=[（q^n-1）/a（q-1）q^n-1）][a₁²q^n-1-1]
代入②
原式=[q^n-1/a（q-1）q^n-1]•[q^n-7-1]≤0
∵q^n-1/a（q-1）q^n-1＞0
∴q^n-7-1≤0
q^n-7≤1
∴n-7≤0
解得n≤7
故答案為7．

點評：本題考查等比數列的性質，化簡計算是本題的關鍵，屬于中檔題．