Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），若y=

f(x)

x

在（0，+∞）上為增函數(shù)，則稱f（x）為“一階比增函數(shù)”；若y=

f(x)

x2

在（0，+∞）上為增函數(shù)，則稱f（x）為“二階比增函數(shù)”．我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為Ω₁，所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為Ω₂．若函數(shù)f（x）=x³-2hx²-hx，且f（x）∈Ω₁，f（x）∉Ω₂，則實(shí)數(shù)h的取值范圍是（　　）

• A、[0，+∞）
• B、（0，+∞）
• C、（-∞，0]
• D、（-∞，0）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：因?yàn)閒（x）∈Ω₁且f（x）∉Ω₂，即g(x)=

f(x)

x

=x2-2hx-h在（0，+∞）是增函數(shù)，所以h≤0．而h(x)=

f(x)

x2

=x-

h

x

-2h在（0，+∞）不是增函數(shù)，而h′(x)=1+

h

x2

，所以當(dāng)h（x）是增函數(shù)時(shí)，有h≥0，所以當(dāng)h（x）不是增函數(shù)時(shí)，有h＜0．綜上所述，可得h的取值范圍是（-∞，0）．

解答： 解：∵f（x）∈Ω₁且f（x）∉Ω₂，
即g(x)=

f(x)

x

=x2-2hx-h在（0，+∞）是增函數(shù)，
∴h≤0．
而h(x)=

f(x)

x2

=x-

h

x

-2h在（0，+∞）不是增函數(shù)，
而h′(x)=1+

h

x2

，
∴當(dāng)h（x）是增函數(shù)時(shí)，有h≥0，
∴當(dāng)h（x）不是增函數(shù)時(shí)，有h＜0．
綜上所述，可得h的取值范圍是（-∞，0）；
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．