Question

函數f(x)=sinx+2xf′(

π

3

)，f′(x)為f(x)的導函數，令a=

1

2

，b=log₃2，則下列關系正確的是（　　）

A．f（a）＞f（b）

B．f（a）＜f（b）

C．f（a）=f（b）

D．以上都不正確

Answer 1

分析：求出原函數的導函數，取x=

π

3

求出f′(

π

3

)，代入原函數解析式后求出f（x），求導函數判斷原函數的單調性，比較a與b的大小后運用單調性判斷f（a）與f（b）的大小．

解答：解：由f(x)=sinx+2xf′(

π

3

)，得：f′(x)=cosx+2f′(

π

3

)，
∴f′(

π

3

)=cos

π

3

+2f′(

π

3

)，則f′(

π

3

)=-

1

2

．
∴f（x）=sinx-x．
∵f^′（x）=cosx-1在x∈（0，1）上小于0恒成立．
∴f（x）=sinx-x在x∈（0，1）上為減函數．
∵a=

1

2

=log3

3

＜log3

4

=log₃2=b＜1，
∴f（a）＞f（b）．
故選A．

點評：本題考查了導數的運算，考查了利用導函數判斷一個函數的單調性，由單調性比較兩個函數值的大小，此題是中檔題．