Question

（2012•浙江模擬）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，已知函數(shù)f(x)=sin(2x-

π

6

)滿足：對于任意x∈R，f（x）≤f（A））恒成立．
（1）求角A的大小；
（2）若a=

3

，求BC邊上的中線AM長的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得f（A）為函數(shù)f（x）的最大值，即sin(2A-

π

6

)=1，由此求得角A 的值．
（2）利用余弦定理可得AM²=-

b2+c2

2

+

3

4

，3=b²+c²-bc，從而得到 3＜b²+c²≤6，由此求得BC邊上的中線AM長的
取值范圍．

解答：解：（1）由題意可得f（A）為函數(shù)f（x）的最大值，即sin(2A-

π

6

)=1，∴A=

π

3

．
（2）若a=

3

，則BM=

3

2

，△ABM中，由余弦定理可得 c²=

3

4

+AM²-2×

3

2

cos∠AMB ①．
在△ACM中，由余弦定理可得 b² =

3

4

+AM²-2×

3

2

cos∠AMC=

3

4

+AM² +2×

3

2

cos∠AMB ②．
把①、②相加可得AM² =

b2+c2

2

-

3

4

．
△ABC中，再由余弦定理可得 3=b²+c²-2bc•cosA=b²+c²-bc，
故有  b²+c² =3+bc＞3，且 b²+c²-bc=3≥b²+c²-

b2+c2

2

，
化簡可得3＜b²+c²≤6，∴AM∈（

3

2

，

3

2

]．

點評：本題主要考查余弦定理，求三角函數(shù)的最值，以及不等式性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．