Question

（2009•重慶模擬）某重點高校數學教育專業的三位畢業生甲、乙、丙參加了一所中學的招聘面試，面試合格者可以正式簽約，畢業生甲表示只要面試合格就簽約，畢業生乙和丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約，設每人面試合格的概率都是

1

3

，且面試是否合格互不影響，求：
（I）至少有1人面試合格的概率；
（II）簽約人數ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（I）由三人都不合格的概率是(

2

3

)3=

8

27

，能求出至少有1人面試合格的概率．
（II）由題設知，ξ=0，1，2，3，先分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）和P（ξ=3）的值，由此能求出ξ的分布列和期望．

解答：解：（I）∵三人都不合格的概率是(

2

3

)3=

8

27

，
∴至少有1人面試合格的概率為p=1-(

2

3

)3=

19

27

．
（II）由題設知，ξ=0，1，2，3，
P（ξ=0）=

2

3

×

2

3

×

2

3

+

2

3

×

1

3

×

2

3

+

2

3

×

2

3

×

1

3

=

16

27

，
P（ξ=1）=

1

3

×

2

3

×

2

3

=

4

27

，
P（ξ=2）=

2

3

×

1

3

×

1

3

=

2

27

，
P（ξ=3）=

1

3

×

1

3

×

1

3

=

1

27

．
從而ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	16 27	4 27	2 27	1 27

∴Eξ=0×

16

27

+1×

4

27

+2×

2

27

+3×

1

27

=

11

27

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列、數學期望，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．