Question

已知函數(shù)，如果函數(shù)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，且.
（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求的最小值，并指出此時(shí)的值.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）最小值為，此時(shí).

試題分析：（Ⅰ）函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，等價(jià)于有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不同的零點(diǎn)和，利用導(dǎo)數(shù)判斷的形狀， ，發(fā)現(xiàn)函數(shù)當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，故；（Ⅱ），又，故，是自變量為，定義域的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值，并計(jì)算相應(yīng)的值．
試題解析：（Ⅰ）∵ 函數(shù)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，即有兩個(gè)零點(diǎn)，，
∴方程有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，， 令，，當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，∴ 在時(shí)取得最小值．
∴ ．
（Ⅱ）∵，即，∴，于是
， ∴，∵，∴．
∴ 當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)．
∴ 在上的最小值為，此時(shí).