Question

【題目】已知函數.

（1）若，討論的單調性；

（2）若，且對于函數的圖象上兩點， ，存在，使得函數的圖象在處的切線.求證；.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)見證明

【解析】

(1)對函數求導，分別討論，以及，即可得出結果；

(2)根據題意，由導數幾何意義得到，將證明轉化為證明即可，再令，設 ，用導數方法判斷出的單調性，進而可得出結論成立.

（1）解：易得，函數的定義域為，

，

令，得或.

①當時，時，，函數單調遞減；

時，，函數單調遞增.

此時，的減區間為，增區間為.

②當時，時，，函數單調遞減；

或時，，函數單調遞增.

此時，的減區間為，增區間為，.

③當時，時，，函數單調遞增；

此時，的減區間為.

綜上，當時，的減區間為，增區間為：

當時，的減區間為，增區間為.；

當時，增區間為.

（2）證明：由題意及導數的幾何意義，得

由（1）中得.

易知，導函數 在上為增函數，

所以，要證，只要證，

即，即證.

因為，不妨令，則 .

所以 ，

所以在上為增函數，

所以，即，

所以，即，

即.

故有（得證）.