Question

若一個關于x與y之間的運算P(x,y)同時滿足：

①非負性：P（x,y)≥0等于當且僅當x=y時成立；

②交換律：P(x,y)=P(y,x);

③三角不等式：P（x,z)≤P(x,y)+P(y,z),則稱P(x,y)為x,y之間的距離.給出一種運算S（x,y)=.問S（x,y)是否為x與y之間的一個距離？若是，請給予證明；若不是，請給出反例.

Answer 1

解：①S（x,y）=≥0當x=y時取等號.

②S（x,y）===S(y,x).

③S(x,z)==1-

=1-.

∵|x-y+y-z|≤|x-y|+|y-z|.

∴≥.

∴S（x,z）≤1-=

=+≤+=S(x,y)+S(y,z).

    故S(x,y)是x,y間的一個距離.