Question

已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+

π

6

)（其中x∈R，A＞0，ω＞0）的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為

π

2

，且圖象上一個點為M(

2π

3

，-2)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知m∈R，p：關(guān)于x的不等式f（x）≥m²+2m-2對x∈[0，

π

4

]恒成立；q：函數(shù)y=（m²-1）^x是增函數(shù)．若“p或q”為真，“p且q”為假，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知可求出函數(shù)的周期，進而求出ω值，代入點M（

2π

3

，-2）可得A值，進而求出f（x）的解析式．
（2）由題意可得，p與q一個為真，另一個為假．分別由p真求得實數(shù)m的取值范圍、由q真求得實數(shù)m的取值范圍．從而求得p真q假時實數(shù)m的取值范圍，以及p假q真時，實數(shù)m的取值范圍，再把這兩個范圍取并集，即得所求．

解答：解：：（1）∵f（x）=Asin（ωx+

π

6

）的圖象與x軸相鄰兩個交點之間的距離為

π

2

，∴最小正周期T=π=

2π

ω

．
又∵ω＞0，∴ω=2．
又∵圖象上一個點為M（

2π

3

，-2）．∴-2=Asin（

4π

3

+

π

6

），解得A=2，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
（2）∵“p或q”為真，“p且q”為假，故p與q一個為真，另一個為假．
由p：關(guān)于x的不等式f（x）≥m²+2m-2對x∈[0，

π

4

]恒成立，可得 f_min（x）≥m²+2m-2對x∈[0，

π

4

]恒成立．
由

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

 可得當2x+

π

6

=

π

6

時，f_min（x）=2×

1

2

=1，∴1≥m²+2m-2，解得-3≤m≤1．
由q：函數(shù)y=（m²-1）^x是增函數(shù)，可得 m²-1＞1，解得 m＞

2

，或 m＜-

2

．
若p真q假，則得-

2

≤m≤1； 若p假q真，則得  m＞

2

，或 m＜-3．
綜上可得，實數(shù)m的取值范圍為（-∞，-3）∪[-

2

，1]∪（

2

，+∞）．

點評：識點是正弦型函數(shù)解析式是求法，正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．