Question

已知函數f（x）=

1

2

x2-alnx（a∈R）．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）求證：x＞1時，

1

2

x2+lnx＜

2

3

x3．

Answer 1

分析：（1）先求函數的導數，利用導數確定函數的單調區間．
（2）構造函數g(x)=

2

3

x3-

1

2

x2-lnx，利用導數求函數g（x）的最值，然后去證明不等式．

解答：解：（1）依題意知函數的定義域為（0，+∞），因為f′(x)=x-

a

x

，
①當a≤0時，f′(x)=x-

a

x

＞0，所以f （x）的單調遞增區間為（0，+∞）
②當a＞0時，因為f′(x)=x-

a

x

=

x2-a

x

=

(x- a )(x+ a )

x

，
令f'（x）＞0，有x＞

a

；所以函數f （x）的單調遞增區間為（

a

，+∞）；
令f'（x）＜0，有0＜x＜

a

．所以函數f （x）的單調遞減區間為(0，

a

)．
（2）設g(x)=

2

3

x3-

1

2

x2-lnx，則g′(x)=2x2-x-

1

x

，
當x＞1時，g′(x)=

(x-1)(2x2+x+1)

x

＞0，
所以g （x）在（1，+∞）上是增函數，所以g(x)＞g(1)=

2

3

-

1

2

＞0
所以當x＞1時，

1

2

x2+lnx＜

2

3

x3成立．

點評：本題的考點是利用導數研究函數的單調性和最值，綜合性較強，運算量較大．