Question

 

．本小題滿分15分）

如圖，已知橢圓E：，焦點(diǎn)為、，雙曲線G：的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)是雙曲線G上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線、與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，已知三角形的周長(zhǎng)等于，橢圓四個(gè)頂點(diǎn)組成的菱形的面積為.

 

（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；

（2）設(shè)直線、的斜率分別為和，探求

和的關(guān)系；

（3）是否存在常數(shù)，使得恒成立？

若存在，試求出的值；若不存在， 請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）由題意知，橢圓中 

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為              …………2分

又頂點(diǎn)與焦點(diǎn)重合，所以；   

所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。   …………4分 

（2）設(shè)點(diǎn)             

在雙曲線上，所以           所以  …………8分

（3）設(shè)直線AB：    

由方程組得    ………10分

設(shè)

所以        

由弦長(zhǎng)公式   

同理        ………12分

由代入得        ………13分

    

所以存在使得成立。   ………15分

 

【解析】略