Question

【題目】已知圓 的方程為 ，直線 的方程為 ，點 在直線 上，過點 作圓 的切線 ，切點為 .
（1）若點 的坐標為 ，求切線 的方程；
（2）求四邊形 面積的最小值；
（3）求證：經過 三點的圓必過定點，并求出所有定點坐標.

Answer 1

【答案】
（1）解：①當切線斜率不存在時，切線方程為 ；
②當切線斜率存在時，設切線方程為 ，
因為直線和圓相切，所以圓心 到切線的距離 ，解得 ，
所以切線方程為 ，即 .
故答案為：所求切線方程為 或
（2）解：四邊形 的面積 ，
所以當 最小時，四邊形 的面積 最小.
又 的最小值是圓心 到直線 的距離，
即 .
故答案為：四邊形 的面積最小值是 .
（3）證明：過 三點的圓即以 為直徑的圓，

設點 ，則圓心坐標是 ，
以 為直徑的圓的方程是 ，
化簡，得 ，
即 .（*）
令 ，解得 或 .
由于不論 為何值，點 、 的坐標都適合方程（*），所以經過 三點的圓必過定點.
故答案為：定點坐標是 和 .
【解析】（1）利用圓心到直線的距離相等求切線方程，注意直線存在的情況；
（2）先將四邊形的面積表示為|PM|的函數式，通過求|PM|的最值得到四邊形面積的最值；
（3）將圓的方程表示為圓系方程的形式，求出圓過定點的坐標.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解點到直線的距離公式的相關知識，掌握點到直線的距離為：．