Question

【題目】已知函數的定義域為，若在上為增函數，則稱為“一階比增函數”.

（1）若是“一階比增函數”，求實數a的取值范圍。

（2）若是“一階比增函數”，求證：對任意，，總有；

（3）若是“一階比增函數”，且有零點，求證：關于x的不等式有解.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）由題意得在是增函數，由一次函數性質；（2）由，可得，，兩式相加化簡即可得結果；（3）取，滿足，記，由（2）知，同理，所以一定存在，使得.

（1）由題意得在是增函數.

由一次函數性質知：當時，在（）上是增函數，

（2） 是“一階比增函數”，即在上是增函數，又 ，有，

，，

，，

（3）設，其中，因為是“一階比增函數”，所以當時，.取，滿足，記，由（II）知，

同理，

所以一定存在，使得，

所以一定有解.