Question

（12分）已知橢圓.過點作圓的切線交橢圓于
，兩點.
（1）求橢圓的焦點坐標和離心率；
（2）將表示為的函數，并求的最大值.

Answer 1

（1）橢圓G的焦點坐標為離心率為
（2）當時，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2.

解析試題分析：(1)由橢圓的標準方程可知a=2,b=1,,顯然易求焦點坐標及離心率，但要注意焦點在x軸上.
（2）因為過點(m,0)作圓的切線，所以此點在圓上或在圓外，因而要對m的范圍進行討論.
然后設過點(m,0)的直線l的方程，根據直線l與圓相切，可得直線l的斜率，再與橢圓聯立，利用韋達定理和判別式，弦長公式求得弦長|AB|與m的函數關系式，再利用基本不等式求得最大值.
（1）由已知得所以
所以橢圓G的焦點坐標為離心率為
（2）由題意知，.
當時，切線的方程，點A、B的坐標分別為
此時當m=－1時，同理可得
當時，設切線的方程為
由
設A、B兩點的坐標分別為，則

又由與圓
所以

由于當時，所以.
因為且當時，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2.
考點：橢圓的標準方程及性質，直線與圓的位置關系，直線與橢圓的位置關系，弦長公式，基本不等式求最值.
點評：本小題第（2）問綜合性解決起來難度大，第一個要注意的時點(m,0)在圓上或圓外，因而要對m=1,m=-1,|m|>1三情況進行討論求|AB|的弦長，表示出弦長|AB|關于m的函數表達式后還要注意適用基本不等式求最值.