Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a₂=2，且點（S_n，S_n+1）在直線y=kx+1上
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求證：{a_n}是等比數列；
（Ⅲ）記T_n為數列{S_n}的前n項和，求T₁₀的值．

Answer 1

分析：（1）根據點（S_n，S_n+1）在直線y=kx+1上，所以點的坐標滿足直線的方程，有所給的前兩項的值算出點的坐標，代入求解．
（2）由數列的前n項和求通項的問題，考慮的思路一般是，仿寫相減，變前n項和的關系為a_n之間的關系，發現數列是等比數列．
（3）由等比數列前n項和公式，寫出s_n，題目把它當做通項，求它的前十項的和，用等比數列求和公式即可．

解答：解：（1）S_n+1=k•S_n+1，令n=1有，S₂=k•S₁+1，∴a₁+a₂=k•a₁+1．代入a₁=1，a₂=2有k=2．
（2）∵S_n+1=2S_n+1，∴S_n=2S_n-1+1（n≥2）．
兩式相減有，a_n+1=2a_n，即，

an+1

an

=2．且

a2

a1

=2符合．
∴{a_n}為公比為2的等比數列．
(3)Sn=

1-2n

1-2

=2n-1
∴T10=(2+22+23++210)-10=

2(1-210)

1-2

-10=2036.

點評：理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式與前n項和公式，并能運用公式解答簡單的問題．同時也要理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式與前n項和公式，并能運用公式解決簡單的問題．