Question

【題目】已知點，點是圓上的任意一點，設為該圓的圓心，并且線段的垂直平分線與直線交于點.

（1）求點的軌跡方程；

（2）已知兩點的坐標分別為， ，點是直線上的一個動點，且直線分別交（1）中點的軌跡于兩點（四點互不相同），證明：直線恒過一定點，并求出該定點坐標.

Answer 1

【答案】（1）（2）直線恒過一定點.

【解析】試題分析：（1）利用垂直平分線的性質可得，再結合橢圓的定義，可得點的軌跡方程；（2）設直線的方程為與橢圓方程聯立，消去，利用根與系數的關系可得，利用兩直線方程，及， 的交點的橫坐標為，可得，結合前面兩式，化簡可得．則當時，恒成立，直線過定點．試題解析：（Ⅰ）依題意有， ，

且，

所以點的軌跡方程為： ．

（Ⅱ）依題意設直線的方程為： ，

代入橢圓方程得：

且： ①，②

∵直線： ，直線：

由題知， 的交點的橫坐標為4，得：

，即

即： ，整理得：

③

將①②代入③得：

化簡可得：

當變化時，上式恒成立，故可得：

所以直線恒過一定點.