Question

【題目】如圖，在棱長為1的正方體中，P為線段上的動點，下列說法正確的是（ ）

A.對任意點P，平面

B.三棱錐的體積為

C.線段DP長度的最小值為

D.存在點P，使得DP與平面所成角的大小為

Answer 1

【答案】ABC

【解析】

對四個選項逐一分析，

對于A：平面平面，可得平面；

對于B：三棱錐的高均為1，底面的面積為，根據錐體體積公式計算即可作出判斷；

對于C：當點P為的中點時，DP最小，此時，在中利用勾股定理進行計算可得出DP的最小值；

對于D：設點P在平面上的投影為點Q，為DP與平面所成的角，，，而，所以DP與平面所成角的正弦值的取值范圍是，而，從而作出判斷.

由題可知，正方體的面對角線長度為，

對于A：分別連接、、、、，易得平面平面，平面，故對任意點P，平面，故正確；

對于B：分別連接、，無論點P在哪個位置，三棱錐的高均為1，底面的面積為，所以三棱錐的體積為，故正確；

對于C：線段DP在中，當點P為的中點時，DP最小，此時，在中，，

故DP的最小值為，故正確；

對于D：點P在平面上的投影在線段上，設點P的投影為點Q，則為DP與平面所成的角，，，

而，所以DP與平面所成角的正弦值的取值范圍是，而，

所以不存在點P，使得DP與平面所成角的大小為，故錯誤.

故選：ABC.