Question

設函數f（x）的定義域為R，當x＜0時f（x）＞1，且對任意的實數x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．數列{a_n}滿足f（a_n+1）=（n∈N^*）
（Ⅰ）求f（0）的值，判斷并證明函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N^*，s≠t，使得點（t，a_s）、（s，a_t）都在直線y=kx-1上，試判斷是否存在自然數M，當n＞M時，a _n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．
當x＜0時，f（x）＞1
令x=-1，y=0則f（-1）=f（-1）f（0）
∵f（-1）＞1∴f（0）=1…（3分）
若x＞0，則f（x-x）=f（0）=f（x）f（-x）故f（x）=，
任取x₁＜x₂ f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）f（x₂-x₁），
∵x₂-x₁＞0，∴0＜f（x₂-x₁）＜1，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
故f（x）在R上減函數…（6分）
（Ⅱ）f（a_n+1）==f（2+a_n）（n∈N^*）
由f（x）單調性得：a_n+1=a_n+2
故{a_n}是等差數列，a_n=a₁+2（n-1）…（8分）
∵存在t，s∈N^*，使得（t，a_s）和（s，a_t）都在y=kx-1上，
∴a_s=kt-1，①a_t=ks-1，②
①-②得a_s-a_t=k（t-s）．
又a_s=a₁+2（s-1），a_t=a₁+2（t-1），故a_s-a_t=-2（t-s），
∵s≠t，∴k=-2
①+②，得a_s+a_t=-2（t+s）-2，
又a_s+a_t=a₁+2（s-1）+a₁+2（t-1）
=2a₁+2（s+t）-4，
∴2a₁+2（s+t）-4=-2（t+s）-2
∴a₁=-2（t+s）+1＜0，∴a_n=-2（t+s）-1+2n…（10分）
即數列{a_n}是首項為負奇數，公差為2，故數列{a_n}是遞增等差數列，各項全為奇數，
又f（0）=1
∴一定存在一個自然數M，使
∴
解得t+s＜M≤t+s+1．…（12分）
∵M∈N，
∴M=t+s+1，
∴存在自然數M=t+s+1，使得當n＞M時，a_n＞f（0）恒成立．…（14分）
分析：（Ⅰ）x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．當x＜0時，令x=-1，y=0以及f（-1）＞1，推出f（0）=1，利用單調性的定義任取x₁＜x₂ 推出 f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）f（x₂-x₁），得到f（x）在R上減函數．
（Ⅱ）通過函數的單調性，得到a_n+1=a_n+2，點（t，a_s）、（s，a_t）都在直線y=kx-1上，推出a_s-a_t=-2（t-s），
確定a_n=-2（t+s）-1+2n，通過當n＞M時，a _n＞f（0）恒成立，推出然后求出M的最小值．
點評：本題考查數列與函數的關系，數列的判斷，函數的單調性的應用，考查轉化思想，分析問題解決問題的能力，難度較大．