Question

m，n 是正整數(shù)，整式f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ中x的 一次項(xiàng)的系數(shù)的和為17，
求：（1）f（x）中x²項(xiàng)的系數(shù)的最小值；
（2）對(duì)（1）中求相應(yīng)的m，n的值，并求出x⁵的系數(shù)．

Answer 1

分析：（1）m，n 是正整數(shù)，整式f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ中x的 一次項(xiàng)的系數(shù)的和為17⇒m+n=17⇒n=17-m，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ中x²項(xiàng)的系數(shù)為：

C

2 m

+

C

2 n

=

m(m-1)

2

+

n(n-1)

2

=

1

2

[m²+（17-m）²]-

17

2

=

1

2

×2（m²-17m）+136通過配方可求得f（x）中x²項(xiàng)的系數(shù)的最小值；
（2）由（1）可求得m=8，n=9或m=9，n=8，不妨令m=8，n=9，x⁵的系數(shù)為：

C

5 8

+

C

5 9

=

C

3 8

+

C

4 9

，其值可求．

解答：解：（1）∵m，n 是正整數(shù)，整式f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ中x的 一次項(xiàng)的系數(shù)的和為17，
∴m+n=17，n=17-m，
∴f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ中x²項(xiàng)的系數(shù)為：

C

2 m

+

C

2 n

=

m(m-1)

2

+

n(n-1)

2

=

1

2

[m²+（17-m）²]-

17

2

=

1

2

×2（m²-17m）+136=(m-

17

2

)2+

255

4

，
∵m，n 是正整數(shù)，故當(dāng)m=8或m=9時(shí)，

C

2 m

+

C

2 n

有最小值64；
（2）當(dāng)m=8，n=9，x⁵的系數(shù)為：

C

5 8

+

C

5 9

=

C

3 8

+

C

4 9

=56+126=182，
當(dāng)m=9，n=8，x⁵的系數(shù)為：

C

5 9

+

C

5 8

=182．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，關(guān)鍵在于正確理解題意，熟練應(yīng)用組合數(shù)公式，著重考查配方法球最值，屬于中檔題．