Question

【題目】【2014高考課標2理數18】如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，

E為PD的中點.

（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）設二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積.

Answer 1

【答案】

【解析】（Ⅰ）證明：設O為AC與BD交點，連結OE，則由矩形ABCD知：O為BD的中點，因為E是BD的中點，所以OE∥PB，因為OE面AEC，PB面AEC，所以PB∥平面AEC。

（Ⅱ）以A為原點，直線AB、AD、AP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，設AB=m，則

是平面AED的一個法向量，設是平面AEC的法向量，則

，解得，，所以令，得，所以

=，因為二面角的大小與其兩個半平面的兩個法向量的夾角相等哉互補，所以=，解得，因為E是PD的中點，所以三棱錐E-ACD的高為，所以三棱錐E-ACD的體積為==.