Question

在等腰直角△ABC中，∠C=90°，一條直角邊BC所在的直線方程為2x+3y+5=0，點A坐標為（2，2），求直線AC、BC的方程．

Answer 1

分析：由垂直關系求得AC斜率，點斜式求AC所在的直線方程．設出直線AB的斜率為k，由AB和AC夾角等于45°，求出AB的斜率，點斜式求出AC、AB所在的直線方程．

解答：解：由題意知kBC=-

2

3

，∵AC⊥BC，∴kAC=

3

2

，
又A（2，2），
∴直線AC的方程為y-2=

3

2

(x-2)，即y=

3

2

x-1…（4分）
設直線AB的斜率為k，∵∠CAB=45°，∴|

k-kAC

1+k•kAC

|=tan45°=1，即|

k- 3 2

1+ 3 2 k

|=1，
解得k=-5或 k=

1

5

…（6分）
當k=-5時，直線AB：y-2=-5（x-2），即 y=-5x+12；
當k=

1

5

時，直線AB：y-2=-

1

5

（x-2），即 y=

1

5

x+

8

5

…（10分）
綜上知：直線AC的方程為：y=

3

2

x-1；
直線AB的方程為：y=-5x+12或 y=

1

5

x+

8

5

…（12分）

點評：本題考查用點斜式求直線方程的方法，直線的方向向量及兩個向量的夾角公式得應用，求直線AB的斜率是解題的難點和關鍵．