Question

(理)如圖4,在體積為1的直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,∠ACB=90°,AC=BC=1.求直線A₁B與平面BB₁C₁C所成角的大小(結果用反三角函數值表示).

圖4

(文)如圖5,在正四棱錐P—ABCD中,PA=2,直線PA與平面ABCD所成的角為60°,求正四棱錐P—ABCD的體積V.

圖5

Answer 1

答案：(理)解法一:由題意,可得體積V=CC₁·S_△ABC=CC₁··AC·BC=CC₁=1,

∴AA₁=CC₁=2.

連結BC₁.∵A₁C₁⊥B₁C₁,A₁C₁⊥CC₁,∴A₁C₁⊥平面BB₁C₁C.

∴∠A₁BC₁是直線A₁B與平面BB₁C₁C所成的角.

BC₁=,

∴tan∠A₁BC₁=,則∠A₁BC₁=arctan.

故直線A₁B與平面BB₁C₁C所成角的大小為arctan.

解法二:由題意,可得體積V=CC₁·S_△ABC=CC₁··AC·BC=CC₁=1,∴CC₁=2.

如圖,建立空間直角坐標系,得點B(0,1,0),C₁(0,0,2),A₁(1,0,2),

則=(-1,1,-2),平面BB₁C₁C的法向量為n=(1,0,0).

設直線A₁B與平面BB₁C₁C所成的角為θ,與n的夾角為φ,

則cosφ==-,

∴sinθ=|cosφ|=,θ=arcsin.

故直線A₁B與平面BB₁C₁C所成角的大小為arcsin.

(文)解:作PO⊥平面ABCD,垂足為O.連結AO,O是正方形ABCD的中心,∠PAO是直線PA與平面ABCD所成的角.

∠PAO=60°,PA=2,∴PO=,AO=1,AB=.∴V=PO·S_ABCD=××2=.