Question

函數f（x）是由向量集

A

到

A

的映射f確定，且f（x）=x-2（x•

a

）

a

，若存在非零常向量

a

使f[f（x）]=f（x）恒成立．
（1）求|

a

|；
（2）設

AB

=

a

，

A

（1，-2），若點P分

AB

的比為-

1

3

，求點P所在曲線的方程．

Answer 1

分析：（1）利用復合函數的性質和向量的數量積運算即可得出；
（2）利用向量的運算和相等即可得出．

解答：解：（1）f[f （x）]=f （x）-2[f （x）•

a

]•

a

（

x

為向量）
=x-2（x•

a

）•

a

-2{[x-2（x•

a

）•

a

]•

a

}•

a

=x-2（x•

a

）•

a

-2[x•

a

-2（x•

a

）

a

2]•

a

=x-2（x•

a

）•

a

∴[x•

a

-2（x•

a

）•

a

2]•

a

=0，∵

a

≠

0

．
∴x•

a

-2（x•

a

）•

a

2=0，∴x•

a

（1-2

a

2）=0恒成立
∴1-2

a

2=0，∴

a

2=

1

2

，∴|

a

|=

2

2

．
（2）設B（x′，y′），∴

AB

=（x′-1，y′+2），
∴（x′-1）²+（y′+2）²=

1

2

，
設P（x，y） 由

AP

=-

1

3

PB

，∴（x-1，y+2）=-

1

3

（x′-x，y′-y）
∴

x-1=- 1 3 (x′-x) y+2=- 1 3 (y′-y)

，解得

x′=-2x+3 y′=-2y-6

，
∴（-2x+3-1）²+（-2y-6+2）²=

1

2

∴（x-1）²+（y+2）²=

1

8

，即為P點所在曲線的方程．

點評：熟練掌握復合函數的性質和向量的數量積運算、向量的運算和相等是解題的關鍵．