Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為（t為參數），以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為，且直線l經過曲線C的左焦點F．

（1）求直線l的普通方程；

（2）設曲線C的內接矩形的周長為L，求L的最大值．

Answer 1

【答案】（1）x＋2y＋1＝0（2）

【解析】

(1)由極坐標化直角坐標的公式可得到曲線C的普通方程，消去參數t可得到直線普通方程，再代入F點坐標可得到直線方程；（2）橢圓C的內接矩形在第一象限的頂點為（，sinθ）內接矩形的周長為，化一求最值即可.

（1）因為曲線C的極坐標方程為，即ρ2＋ρ2sin2θ＝2．

將ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y，代入上式，得

x2＋2y2＝2，即．

所以曲線C的直角坐標方程為．

于是c2＝a2－b2＝1，所以F（－1，0）．

由消去參數t，

得直線l的普通方程為．

將F（－1，0）代入直線方程得．

所以直線l的普通方程為x＋2y＋1＝0．

（2）設橢圓C的內接矩形在第一象限的頂點為（，sinθ）（），

所以橢圓C的內接矩形的周長為（其中），故橢圓C的內接矩形的周長的最大值．