Question

已知函數y=x³+3px²+3px+1．
（1）試問該函數能否在x=-1處取到極值？若有可能，求實數p的值；否則說明理由；
（2）若該函數在區間（-1，+∞）上為增函數，求實數p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）該函數不能在x=-1處取到極值，假設存在x=-1處取到極值，則此處導數為0，求出導函數，由導函數為0求出p，將p值代入驗證知，函數是單調性函數，故不可能存在極值．
（2）若該函數在區間（-1，+∞）上為增函數，則在區間（-1，+∞）上，y'=3x²+6px+3p≥0恒成立，由于其對稱軸不定，故分兩類討論，一類是對稱軸小于-1，此時只要左端點函數值非負即可，一類是對稱軸大于-1，此時最小值大于0，將這些關系轉化成相應的方程與不等式解出參數的值．

解答：解：（1）該函數不能在x=-1處取到極值，理由如下：
假設存在x=-1處取到極值，則此處導數為0，
y=x³+3px²+3px+1，y'=3x²+6px+3p，
若該函數能在x=-1處取到極值，則y'|_x=-1=3-6p+3p=0，
即p=1，此時，y'=3x²+6x+3=3（x+1）²≥0，函數為單調函數，這與
該函數能在x=-1處取到極值矛盾，則該函數不能在x=-1處取到極值．
（2）若該函數在區間（-1，+∞）上為增函數，
則在區間（-1，+∞）上，y'=3x²+6px+3p≥0恒成立，
①

-p≤-1 f′(-1)=3-6p+3p≥0

?p=1；
②

-p＞-1 f′(-p)=3p-3p2≥0

?0≤p＜1，
綜上可知，0≤p≤1．則p的取值范圍是[0，1]

點評：本題考查用導數研究函數的單調性，這是導數的一個重要應用．本題中用導數建立參數的方程與不等式，這是導數與極值、最值結合的一種常見方式．