Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；

（2）若只有一個(gè)極值點(diǎn).

（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（ii）證明：.

Answer 1

【答案】(1) 最大值為-1. (2) （i）（ii）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最大值；

（2）由，得到，分和討論，求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，即可得到答案.

（1）當(dāng)時(shí)，，.

令，則，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

∴，故的最大值為-1.

（2），.

①當(dāng)時(shí)，在恒成立，則在單調(diào)遞增.

而，當(dāng)時(shí)，，

則，且，∴使得.

∴當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，∴只有唯一極值點(diǎn).

②當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，∴.

（i）當(dāng)即時(shí)，在恒成立，則在單調(diào)遞減，無(wú)極值點(diǎn)，舍去.

（ii）當(dāng)即時(shí)，.

又，且，∴使得.

由（1）知當(dāng)時(shí)，，則

∴

則，且，∴使得.

∴當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減.

∴有兩個(gè)極值點(diǎn)，，舍去.

綜上，只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，

∵，∴，

∴，.

令，∴，則在單調(diào)遞減

∴當(dāng)時(shí)，，∴.