Question

已知函數f（x）是R上的奇函數，且x＞0時，f（x）=-x²+2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在給出的直角坐標系中畫出函數f（x）的圖象，并求不等式f（x）＜0的解集；
（3）若函數f（x）在區間[-1，|a|-2]上單調遞增，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設x＜0，得到-x＞0，代入x＞0時的解析式化簡可得x＜0時的解析式，又定義在實數集上的奇函數有
f（0）=0，所以分段函數f（x）的解析式可求；
（2）利用二次函數的頂點及與x軸的交點作出簡圖，然后由圖象得到不等式f（x）＜0的解集；
（3）借助于二次函數的圖象，分析得到區間右端點的范圍，解絕對值得不等式得到a的取值范圍．

解答：解：（1）當 x＜0時，-x＞0，
∴f（x）=-f（-x）=-[-（-x）²+2（-x）=x²+2x；
又函數f（x）是R上的奇函數，∴f（0）=0
∴f（x）的解析式為：f(x)=

-x2+2x(x＞0) 0(x=0) x2+2x(x＜0)

；
（2）函數f（x）的圖象如圖所示，
根據f（x）的圖象可知，不等式f（x）＜0的解集是：{x|-2＜x＜0，或x＞2}；
（3）由圖象可知，f（x）在[-1，1]上單調遞增，要使f（x）在區間[-1，|a|-2]上單調遞增，
則只需：-1＜|a|-2≤1，解得-3≤a＜-1，或1＜a≤3，
∴a的取值范圍是：{a|-3≤a＜-1，或1＜a≤3}．

點評：本題考查了二次函數的圖象，考查了二次函數的性質，數形結合有助于我們的解題，形象直觀，此題是中檔題．