Question

一走廊拐角下的橫截面如圖所示，已知內壁FG和外壁BC都是半徑為1m的四分之一圓弧，AB，DC分別與圓弧BC相切于B、C兩點，EF∥AB，GH∥CD，且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是1m．
（1）若水平放置的木棒MN的兩個端點M、N分別在外壁CD和AB上，且木棒與內壁圓弧相切于點P．設∠CMN=θ（rad），試用θ表示木棒MN和長度f（θ）．
（2）若一根水平放置的木棒能通過該走廊拐角處，求木棒長度的最大值．

Answer 1

分析：（1）如圖，設圓弧FG所在的圓的圓心為Q，過Q點作CD垂線，垂足為點T，且交MN或其延長線與于S，并連接PQ，再過N點作TQ的垂線，垂足為W．在Rt△NWS中用NW和∠SNW表示出NS，在Rt△QPS中用PQ和∠PQS表示出QS，然后分別看S在線段TG上和在線段GT的延長線上分別表示出TS=QT-QS，然后在Rt△STM中表示出MS，利用MN=NS+MS求得MN的表達式和f（θ）的表達式．
（2）設出sinθ+cosθ=t，則sinθcosθ可用t表示出，然后可得f（θ）關于t的表達式，對函數進行求導，根據t的范圍判斷出導函數小于0推斷出函數為減函數．進而根據t的范圍求得函數的最小值．

解答：解：（1）如圖，設圓弧FG所在的圓的圓心為Q，過Q點作CD垂線，垂足為點T，且交MN或其延長線與于S，并連接PQ，再過N點作TQ的垂線，垂足為W．
在Rt△NWS中，因為NW=2，∠SNW=θ，
所以NS=

2

cosθ

．
因為MN與圓弧FG切于點P，所以PQ⊥MN，
在Rt△QPS，因為PQ=1，∠PQS=θ，
所以QS=

1

cosθ

，QT-QS=2-

1

cosθ

，
①若M在線段TD上，即S在線段TG上，則TS=QT-QS，
在Rt△STM中，MS=

TS

sinθ

=

QT-QS

sinθ

，
因此MN=NS+MS=NS+

QT-QS

sinθ

．
②若M在線段CT上，即若S在線段GT的延長線上，則TS=QS-QT，
在Rt△STM中，MS=

TS

sinθ

=

QS-QT

sinθ

，
因此MN=NS-MS=NS-

QS-QT

sinθ

=NS+

QT-QS

sinθ

．
f（θ）=MN=NS+

QT-QS

sinθ

=

2

cosθ

+(

2

sinθ

-

1

sinθcosθ

)=

2(sinθ+cosθ)-1

sinθcosθ

 (0＜θ＜

π

2

)．
（2）設sinθ+cosθ=t (1＜t≤

2

)，則sinθcosθ=

t2-1

2

，
因此f(θ)=g(t)=

4t-2

t2-1

．因為g′(t)=-

4(t2-t+1)

(t2-1)2

，又1＜t≤

2

，所以g′（t）＜0恒成立，
因此函數g(t)=

4t-2

t2-1

在t∈(1，

2

]是減函數，所以g(t)min=g(

2

)=4

2

-2，
即MNmin=4

2

-2．
答：一根水平放置的木棒若能通過該走廊拐角處，則其長度的最大值為4

2

-2．

點評：本題主要考查了解三角形的實際應用．考查了學生分析問題和解決問題的能力，基本的運算能力．