Question

（2012•自貢三模）己知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

3

3

，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切，A，B分別是橢圓的左右兩個頂點，P為橢圓C上的動點．
（I）求橢圓的標準方程；
（II） M為過P且垂直于x軸的直線上的點，若

|OP|

|OM|

=λ，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

Answer 1

分析：（I）寫出圓的方程，利用直線與圓相切的充要條件列出方程求出b的值，利用橢圓的離心率公式得到a，c的關系，再利用橢圓本身三個參數的關系求出a，c的值，將a，b的值代入橢圓的方程即可．
（II）設出M的坐標，求出P的坐標，利用兩點的距離公式將已知的幾何條件用坐標表示，通過對參數λ的討論，判斷出M的軌跡．

解答：解：（Ⅰ）由題意，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓的方程為x²+y²=b²，
∵直線x-y+2=0與圓相切，∴d=

2

2

=b，即b=

2

，
又e=

3

3

，即a=

3

c，
∵a²=b²+c²，
∴a=

3

，c=1，
∴橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1． 
（Ⅱ）設M（x，y），其中x∈[-

3

，

3

]．
由已知

|OP|2

|OM|2

=λ2及點點P在橢圓C上可得

x2+2- 2 3 x2

x2+y2

=

x2+6

3(x2+y2)

=λ²，
整理得（3λ²-1）x²+3λ²y²=6，其中x∈[-

3

，

3

]．
①當λ=

3

3

時，化簡得y²=6，
∴點M軌跡方程為y=±

6

（-

3

≤x≤

3

），軌跡是兩條平行于x的線段；
②當λ≠

3

3

時時，方程變形為

x2

6 3λ2-1

+

y2

6 3λ2

=1，其中x∈[-

3

，

3

]．
當0＜λ＜

3

3

時，點M軌跡為中心在原點、實軸在y軸上的雙曲線滿足-

3

≤x≤

3

的部分；
當

3

3

＜λ＜1時，點M軌跡為中心在原點、長軸在x上的橢圓滿足-

3

≤x≤

3

的部分；
當λ≥1時，點M軌跡為中心在原點、長軸在x上的橢圓．

點評：本題重點考查圓錐曲線的方程，考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查分類討論的數學思想，解題的關鍵是利用待定系數法求圓錐曲線的方程．