Question

已知A，B，C，D是曲線y=x²上的四點，且A，D關于曲線的對稱軸對稱，直線BC與曲線在點D處的切線平行
（1）證明：直線AC與直線AB的傾斜角互補
（2）設D到直線AB，AC的距離分別為d₁，d₂，若d₁+d₂=

2

|AD|，且△ABC的面積為3，求點A坐標及直線BC的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,直線的斜率

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），A（a，a²），D（-a，a²）．利用導數的幾何意義和斜率計算公式可得x₁+x₂=-2a．同理k_AC=x₁+a，k_AB=x₂+a，即可證明k_AC+k_AB=0．
（2）由于直線AC與直線AB的傾斜角互補，且AD∥x軸，可得AD平分∠CAB．于是d₁=d₂.sin∠DAC=

d1

|AD|

=

2

2

．∠DAC=45°．設k_AC=1，則k_AB=-1．得到△ABC為直角三角形．進而得到|AB|=

2

•|x1-a|=

2

|2a+1|，|AC|=

2

|2a-1|，再利用三角形的面積計算公式S_△ABC=

1

2

|AB|•|AC|=

1

2

×2×|2a+1| |2a-1|=3，即可解得a的值．

解答： 證明：（1）設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），A（a，a²），D（-a，a²）．
∵y=x²，∴y′=2x．∴

y

′ D

=-2a．
又kBC=

y1-y2

x1-x2

=

x 2 1 - x 2 2

x1-x2

=x₁+x₂．
∴x₁+x₂=-2a．
同理k_AC=x₁+a，k_AB=x₂+a，
∴k_AC+k_AB=x₁+x₂+2a=0．
∴直線AC與直線AB的傾斜角互補．
（2）解：∵直線AC與直線AB的傾斜角互補，且AD∥x軸，
∴AD平分∠CAB．
∴d₁=d₂．
∴2d1=

2

|AD|，sin∠DAC=

d1

|AD|

=

2

2

．
∴∠DAC=45°．
設k_AC=1，則k_AB=-1．
∴△ABC為直角三角形．
∵x₁+a=-1，x₂+a=1．
∴|AB|=

2

•|x1-a|=

2

|2a+1|，|AC|=

2

|2a-1|，
∴S_△ABC=

1

2

|AB|•|AC|=

1

2

×2×|2a+1| |2a-1|=3，
解得a=1或-1．
當a=-1時，A（-1，1），直線BC的方程為y=2x．
當a=1時，A（1，1），直線BC的方程為y=-2x．

點評：本題綜合考查了直線與拋物線的位置關系、斜率計算公式、導數的幾何意義、角平分線的性質、直角三角形的邊角關系、三角形的面積計算公式、直線的方程等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，考查了數形結合的能力，屬于難題．