Question

【題目】已知函數(shù) 是奇函數(shù)
（1）求常數(shù)a的值
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）上的單調(diào)性，并給出證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ 是奇函數(shù)，

∴定義域是{x|x≠0}，f（1）+f（﹣1）=0，

則 ，

解得a=

（2）解：由（1）得， ，

則f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上都是減函數(shù)，

證明如下：任取0＜x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）= ﹣（ ）

= = ，

∵x1，x2∈（0，+∞），∴ ＞0， ＞0，

又x1＜x2，則 ＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，則f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，

當(dāng)x1，x2∈（﹣∞，0）時，同理可證f（x）在（﹣∞，0）上是減函數(shù)，

綜上知，函數(shù)f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上都是減函數(shù)

【解析】（1）由函數(shù)解析式求出定義域，由奇函數(shù)的性質(zhì)得f（1）+f（﹣1）=0，代入列出方程求出a的值；（2）由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性先判斷，利用函數(shù)單調(diào)性的定義：取值、作差、變形、定號、下結(jié)論證明．
【考點精析】通過靈活運用奇偶性與單調(diào)性的綜合，掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性即可以解答此題．