Question

如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD＝PD＝2EA＝2，F,G,H分別為BP,BE,PC的中點。

（Ⅰ）求證：平面FGH⊥平面AEB；
（Ⅱ）在線段PC上是否存在一點M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出線段PM的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）在線段PC上存在一點M，使PB⊥平面EFM，PM=．

試題分析：（Ⅰ）求證：平面平面，證明面面垂直，先證線面垂直，即證一個平面過另一個平面的垂線，注意到F，H分別為線段PB，PC的中點，所以FH∥BC，只要CB⊥平面，則FH⊥平面，由已知EA⊥平面ABCD，則EA⊥CB，而四邊形ABCD是正方形，CB⊥AB，從而可得CB⊥平面，即可證出平面平面；（Ⅱ）這是一個探索性命題，一邊假設存在，作為條件，進行推理即可，有已知條件，先判斷EF⊥PB（因為若EF不垂直PB，則點就不存在），若PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM，注意到三角形是一個直角三角形，這樣△PFM∽△PCB，利用線段比例關系，可得PM=，從得結論．
試題解析：（Ⅰ）因為EA⊥平面ABCD，所以EA⊥CB．
又因為CB⊥AB，AB∩AE=A，所以CB⊥平面ABE． 3分
由已知F，H分別為線段PB，PC的中點，所以FH∥BC，則FH⊥平面ABE．  5分
而FH?平面FGH，所以平面FGH⊥平面ABE． 6分
（Ⅱ）在線段PC上存在一點M，使PB⊥平面EFM．證明如下：在直角三角形AEB中，因為AE=1，AB=2，所以BE= ，
在直角梯形EADP中，因為AE=1，AD=PD=2，所以PE= ，所以PE=BE．
又因為F為PB的中點，所以EF⊥PB．..8分
要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM．    ..9分
因為PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CB，又因為CB⊥CD，PD∩CD=D，
所以CB⊥平面PCD，而PC?平面PCD，所以CB⊥PC．
若PB⊥FM，則△PFM∽△PCB，可得 ，      11分
由已知可求得PB=，PF=，PC=，所以PM=    ..12分