Question

已知函數f（x）=

ax-1

ax+1

（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的定義域和值域；
（2）討論f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（1）定義域易得，利用反解自變量的方法求值域即可．
（2）先把函數分離常數，在分底數和1的大小兩種情況再結合復合函數的單調性來判斷即可．

解答：解：（1）易得f（x）的定義域為{x|x∈R}．設y=

ax-1

ax+1

，解得a^x=-

y+1

y-1

①
∵a^x＞0當且僅當-

y+1

y-1

＞0時，方程①有解．解-

y+1

y-1

＞0得-1＜y＜1．
∴f（x）的值域為{y|-1＜y＜1}．
（2）f（x）=

(ax+1)-2

ax+1

=1-

2

ax+1

．
1°當a＞1時，∵a^x+1為增函數，且a^x+1＞0．
∴

2

ax+1

為減函數，從而f（x）=1-

2

ax+1

=

ax-1

ax+1

為增函數．
2°當0＜a＜1時，類似地可得f（x）=

ax-1

ax+1

為減函數．

點評：本題是對函數定義域和值域以及單調性的綜合考查．在利用復合函數的單調性時，其原則是；單調性相同為增，單調性相反為減，且乘正數單調性不變，乘負數單調性相反．