Question

設命題p：函數f（x）=x³-ax-1在區間[-1，1]上單調遞減；命題q：函數y=ln（x²+ax+1）的值域是R．如果命題p或q為真命題，p且q為假命題，則實數a的取值范圍是（　　）

A．（-∞，3]

B．（-∞，-2]∪[2，3）

C．（2，3]

D．[3，+∞）

Answer 1

分析：p為真需導數f′（x）=3x²-a≤0在[-1，1]恒成立，可得a的范圍；q為真必須使x²+ax+1能取滿全體正數，可得△=a²-4≥0，解之可得a的范圍，由題意可知p，q一真一假，由集合的交并運算可得答案．

解答：解：若命題p：函數f（x）=x³-ax-1在區間[-1，1]上單調遞減，為真命題，
則其導數f′（x）=3x²-a≤0在[-1，1]恒成立，故a≥（3x²）_max=3，即a≥3；
若命題q：函數y=㏑（x²+ax+1）的值域是R，為真命題，
則必須使x²+ax+1能取滿全體正數，故△=a²-4≥0，解得a≤-2，或a≥2；
因為命題p或q為真命題，p且q為假命題，所以p，q一真一假，
當p真，q假時，可得{a|a≥3}∩{a|-2＜a＜2}=∅，
當p假，q真時，可得{a|a＜3}∩{a|a≤-2，或a≥2}={a|a≤-2，或2≤a＜3}
綜上可得實數a的取值范圍是：（-∞，-2]∪[2，3）
故選B

點評：本題考查復合命題的真假，涉及函數的單調性和恒成立問題，屬中檔題．