Question

設命題p：函數f（x）=lg（ax²+2ax+2）的定義域為R；命題q：不等式

2x+1

＜a+x對任意x≥-

1

2

均成立，如果命題p或q為真命題，命題p且q為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：由ax²+2ax+2＞0對任意實數x均成立，分類討論：分a=0；

a＞0 △＜0

兩種情況求解a的范圍即可求解p；由

2x+1

＜a+x對一切正實數均成立，利用換元法設t=

2x+1

，則x=

t2-1

2

，（t≥0），轉化關于t的二次函數可求q的范圍，結合復合命題的真假關系即可求解

解答：解：命題p為真命題?函數f（x）=lg（ax²+2ax+2）的定義域為R，
即ax²+2ax+2＞0對任意實數x均成立，
當a=0時，2＞0的解集為R，成立；      …（1分）
當

a＞0 4a2-8a＜0

?0＜a＜2．…（3分）
所以命題p為真命題?0≤a＜2．…（4分）
命題q為真命題?

2x+1

＜a+x對一切正實數均成立，
設t=

2x+1

，則x=

t2-1

2

，（t≥0）
∴-

t2

2

+t+

1

2

＜a，t≥0
∴y=-

t2

2

+t+

1

2

=-

1

2

(t-1)2+1，t≥0
∴y=-

t2

2

+t+

1

2

=-

1

2

(t-1)2+1≥1，t≥0
所以，命題q為真命題?a＞1．…（8分）
∵p或q為真命題，p且q為假命題，
∴p、q一真一假．…（9分）
若p為真命題，q為假命題，0≤a≤1；          …（10分）
若p為假命題，q為真命題，則a≥2．…（11分）
∴a的取值范圍是a≥2或0≤a≤1．          …（12分）

點評：本題主要考查了復合命題的真假關系的判斷，解題的關鍵是熟練應用函數及不等式的知識求解出命題p，q為真時的a的范圍．