Question

21.

設動點P到點A(－l，0)和B(1，0)的距離分別為d₁和d₂，∠APB＝2θ，且存在常數λ(0＜λ＜1)，使得d₁d₂ sin²θ＝λ.

（1）證明：動點P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；

（2）過點B作直線交雙曲線C的右支于M、N兩點，試確定λ的范圍，使·＝0，其中點O為坐標原點.

Answer 1

解法一：（1）在△PAB中，,則，

4=(d₁-d₂)²+4d₁d₂sin²,即(常數)，

點P的軌跡C是以A、B為焦點，實軸長的雙曲線，方程為：.

(2)設M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)

①當MN垂直于x軸時，MN的方程為x=1,M(1,1),N(1,-1)在雙曲線上，

即，因為,所以.

②當MN不垂直于x軸時，設MN的方程為y=k(x-1).

由得，

由題意知：，所以，，

于是，

因為,且M,N在雙曲線右支上 所以

，

由①②知。

解法二：（1）同解法一

（2）設M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),MN的中點為E(x₀,y₀).

①當x₁=x₂=1時，,因為所以;

②當時，.

又.所以;

由得,由第二定義得

=，

所以.

于是由得

因為x₀＞1,所以，又

解得：.由①②知.