Question

（20分）設雙曲線的左、右焦點分別為，，若的頂點P在第一象限的雙曲線上移動, 求的內切圓的圓心軌跡以及該內切圓在邊上的切點軌跡。

Answer 1

解析:如圖，記雙曲線在軸上的兩頂點為A(1, 0)， B(-1, 0)，G為的內切圓在邊上的切點，H為的內切圓在邊上的切點，K為的內切圓在邊上的切點。則有

          ---------------------------------   5分

由雙曲線的定義知，G必在雙曲線上，于是G與A(1, 0)重合，是定點。

而。根據圓外一點到該圓的兩切點的距離相等，所以的內切圓在邊上的切點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧。------- 10分

因為是在第一象限的曲線上移動，當沿雙曲線趨于無窮時，與軸正向的交角的正切的極限是

即 。 故點H的軌跡方程為 (極坐標形式)

 ，    （）       --------------------------------- 15分

也可以用直角坐標形式。

 

由于G與A(1, 0)重合，是定點，故該內切圓圓心的軌跡是直線段，方程為

 （）。            -------------------------------- 20分