Question

12、已知函數f（x）的定義域為[-1，5]，部分對應值如下表．

f（x）的導函數y=f'（x）的圖象如圖所示．
下列關于函數f（x）的命題：
①函數y=f（x）是周期函數；
②函數f（x）在[0，2]是減函數；
③如果當x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為4；
④當1＜a＜2時，函數y=f（x）-a有4個零點．
其中真命題的個數是（　　）

A、4個

B、3個

C、2個

D、1個

Answer 1

分析：先由導函數的圖象和原函數的關系畫出原函數的大致圖象，再借助與圖象和導函數的圖象，對四個命題，一一進行驗證，對于假命題采用舉反例的方法進行排除即可得到答案．

解答：解：由導函數的圖象和原函數的關系得，原函數的大致圖象如圖：
由圖得：①為假命題，[-1，0]與[4，5]上單調性相反，但原函數圖象不一定對稱．
②為真命題．因為在[0，2]上導函數為負，故原函數遞減；
③為假命題，當t=5時，也滿足x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2；
④為假命題，當a離1非常接近時，對于第二個圖，y=f（x）-a有2個零點，也可以是3個零點．
綜上得：真命題只有②．
故選   D．

點評：本題主要考查導函數和原函數的單調性之間的關系．二者之間的關系是：導函數為正，原函數遞增；導函數為負，原函數遞減．