Question

已知橢圓E:+=1(a>b>0),以拋物線y²=8x的焦點為頂點,且離心率為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若F為橢圓E的左焦點,O為坐標原點,直線l:y=kx+m與橢圓E相交于A、B兩點,與直線x=-4相交于Q點,P是橢圓E上一點且滿足=+,證明·為定值,并求出該值.

Answer 1

（1）+=1  （2），證明見解析

解析解:(1)拋物線y²=8x的焦點為(2,0),
又橢圓以拋物線焦點為頂點,
∴a=2,
又e==,
∴c=1,∴b²=3.
∴橢圓E的方程為+=1.
(2)由(1)知,F(-1,0),
由
消去y,得(3+4k²)x²+8kmx+4m²-12=0.
∵l與橢圓交于兩點,
∴Δ=(8km)²-4(3+4k²)(4m²-12)>0,
即m²<4k²+3.
設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),
則x₁、x₂是上述方程的兩個根,
∴x₁+x₂=-,x₁·x₂=,
又y₁+y₂=kx₁+m+kx₂+m
=k(x₁+x₂)+2m
=
∴=+=（-,）,
由點P在橢圓上,得+=1.
整理得4m²=3+4k²,
又Q(-4,-4k+m),
∴=(-3,-4k+m).
∴·=（-,）·(-3,m-4k)
=+
=
=.
即·為定值.