Question

【題目】已知橢圓的對稱軸為坐標軸，離心率為，且一個焦點坐標為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線與橢圓相交于兩點，以線段為鄰邊作平行四邊形，其中點在橢圓上， 為坐標原點，求點到直線的距離的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：

(1)由題意可求得， ，∴橢圓的方程為.

(2)首先討論斜率存在的情況，點到直線的距離的最小值為.

當斜率不存在時額外討論可得結論.

試題解析：

解：（1）由已知設橢圓的方程為，則.

由，得， ， ，∴橢圓的方程為.

（2）當直線斜率存在時，設直線的方程為.

則由消去得.

.①

設點， ， 的坐標分別是， ， .

∵四邊形為平行四邊形，∴，

，

由于點在橢圓上，∴，

從而，化簡得，經檢驗滿足①式.

又點到直線的距離為.

當且僅當時，等號成立.

當直線斜率不存在時，由對稱性知，點一定在軸上，

從而點的坐標為或，直線的方程為，∴點到直線的距離為1.

∴點到直線的距離的最小值為.