Question

【題目】在以為圓心，6為半徑的圓內有一點，點為圓上的任意一點，線段的垂直平分線和半徑交于點.

（1）判斷點的軌跡是什么曲線，并求其方程；

（2）記點的軌跡為曲線，過點的直線與曲線交于，兩點，求的最大值；

（3）在圓上的任取一點，作曲線的兩條切線，切點分別為、，試判斷與是否垂直，并給出證明過程.

Answer 1

【答案】（1）點的軌跡是以、為焦點的橢圓. （2）（3）垂直.見解析

【解析】

(1)根據題意知，，所以點的軌跡是以、為焦點的橢圓，求出a、b、c即可寫出橢圓的方程；(2)當直線斜率不存在時可求得，當直線斜率存在時設出直線方程與橢圓方程聯立可表示出、，代入中即可求得的最大值；(3)當有一條切線斜率不存在時求出切線易證兩切線垂直；當斜率存在時設出直線方程與橢圓方程聯立得到關于x的一元二次方程，由直線與橢圓相切知即可求出，證明兩條切線垂直.

解：（1）由題知：， ，

∴點的軌跡是以、為焦點的橢圓.

由，得，又，∴，

∴橢圓的標準方程為.

（2）當直線斜率不存在時，直線方程為，則，，

∴.

當斜率存在時，設為，直線方程為，

與聯立，消得，

則，

設，，，，

則

.

綜上，的最大值為.

（3）垂直.證明如下：設點，則.

①當兩切線中有一條切線斜率不存在時，即與軸垂直時，切線方程為，

即，得，∴另一條切線方程為，即與軸平行，∴兩切線垂直.

②當斜率存在時，，設切線方程為，

聯立，消得.

由于直線與橢圓相切，得

.

化簡得.

∵，∴，即兩條切線相互垂直.

綜上，過點作的兩條切線與垂直.